Aritmética Modular.
En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae.
Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo.
DIVISIBILIDAD.
Sean a y b enteros con a ≠0. Suponga ac = b para algún entero c. entonces se dice que a divide a b se escribe b es divisible entre a, y esto lo denotamos como a│b.
También podemos decir que b e un múltiplo de a o que a es un factor o un divisor de b. si a no divide a b se escribe a │ b.
Ejemplos:
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Resulta evidente que 3│6 puesto que 3 ∙ 2 = 6 y -4│28 puesto que (-4)(-7) = 28.
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Los divisores de 4 son ±1, ±2, ±4 y los divisores de 9 son ±1, ±3, ±9.
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Si a ≠0 entonces a│0 puesto que a ∙ 0 = 0.
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Todo entero a es divisible entre ±1 y ± a. estos a menudo se denominan divisores triviales de a.
Las propiedades básicas de la divisibilidad se plantean en el siguiente teorema.
Teorema: Suponga que a, b ,c son enteros.
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Si a│b y b│c, entonces a│c
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Si a│b entonces, para cualquier entero x, a│bx.
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Si a│b y a│c, entonces a│(b +c) y a│(b-c)
Algoritmo de la división.
Sean a y b enteros con b ≠0. Entonces existen enteros q y r tales que a = bq + r y 0 ≤ r ˂ │b│. En donde q es el cociente y r el residuo. Algo muy importante que debemos mencionar es que el residuo siempre es positivo o cero.
Ejemplo:
Sean a = 4461 y b = 16. El cociente q = 278 y el residuo r = 13, ya que 4461=16 * 278 + 13.
Sean a = -262 y b = 3. El cociente q = -88 y el residuo r = 2, ya que -262 = 3(-88) + 2.
Relaciones de congruencia.
Se dice que a es congruente con b modulo m cuando al dividirlos entre m nos dejan el mismo residuo, y lo denotamos a ≡ b mod m.
Ejemplo: Clase residual módulo 5
13≡3 mod 5
48≡23 mod 5
26≡11 mod 5
